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Games202(2·第4章，第5章)

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作者 senlongan
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第4章

优化性能

如何优化pcf以及pcss的性能呢，在区域计算时，随机采样指定数目的像素，而不是区域内的所有像素，但是这样会导致噪声，

另一种方法不再计算区域内的每个像素（比如8*8=64），而是通过转为正太分布的pdf，估计概率，这就是vssm

vssm （variance soft shadow mapping）方差软阴影映射

vssm正是为了解决软阴影实现的性能问题，那么为了映射为正太分布，我们需要求出曲线的均值，和方差，然后求出pdf中满足一定区域的概率

求均值：

  • mipmap：它只能在正方形内查询，并且它是不准的
  • SAT（summed area tables）：可以在长方形查询，结果是准确的
    • sat算法是为了解决快速区域查询的，它的思想是前缀和表

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  • 为了理解，我们首先看一维，比如我要快速获取原数组的和，可以通过新建一个前缀和数组（遍历n次，每次累加的值存储到新数组中），在区域查询时直接从新数组获取ab的索引，两者相减即可
    • 对于2维同样，不过ij的值需要：（K为区域的半径）
    • sum = P[i + K + 1][j + K + 1] - P[i - K][j + K + 1] - P[i + K + 1][j - K] + P[i - K][j - K]
    • 对于查询时需要：[i + K, j + K] - [i - K, j + K] - [i + K, j - K] + [i - K, j - K]

求方差： 我们利用了公式：x平方值的期望 - x期望值的平方 = 方差

因为shadowmap中存储的depth就是x，区域的均值就是期望，因此只需要在计算shadowmap时，额外生成一张shadow map，它保存的是depth^2即可

求概率

CDF : 累积分布函数,是pdf的积分 == 函数的面积

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但是也可以通过切比雪夫不等式 在知道 期望 和 方差 时候 近似求得x > t（必须在均值的右边）时的概率

正太分布

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对于连续性随机变量X（样本到实数映射的函数），其中ab区间的概率 == ab区间的面积

正态分布又称高斯分布函数：通常会呈现钟形曲线，中间区域概率高，两侧的概率低，且不想左右偏移：

  • 平均值 = 中位数 = 众数
  • 沿中线对称
  • 50% 的值小于平均值，50%的值大于平均值

正太分布由几个概念组成：

  • 均值μ：决定了正态分布曲线的中心位置，也是分布的期望值
  • 标准差σ：决定了正态分布曲线的形状，标准差越大，曲线越分散；标准差越小，曲线越集中
  • 方差σ^2:方差是标准差的平方，表示数据离散程度的度量

第5章

SDF（Signed Distance Function）

函数返回空间中任何一点,到某个物体的最小距离，sdf（p）= d，其中返回值有正负，负数代表在物体内部,正数则表示在物体外部（是一个矢量）

应用：

Ray Marching光线步进：

如同光栅化/ray tracing一样，它也是渲染的一种方式，类似光线追踪，都是找到光线在scene中的交点，但不同的是，它是按照步进的方式，而不是一次性的和场景求交

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那么每次走多远呢？为了保证不会超过物体，每次走sdf的距离，可以看图，从p0点以sdf为半径画圆，沿着光线方向走sdf的距离到达p1点，……逐渐步进

直到距离物体足够接近求交，或者步进超过了指定次数，还距离物体非常远，停止步进

软阴影

我们知道不同的shading point阴影的过滤程度不同（和遮挡物和被投射物体的距离有关），我们前面对pcss做了优化vssm，但是我们一般不会使用vssm，还有其他方式生成软阴影，我们将利用sdf

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以着色点p为起点和光源连线，以sdf（p）为半径画圆，在以p为起点和圆做切线，这里的连线和切线的夹角就是safe angle

safe angle越小，阴影越黑,越趋近于硬阴影;afe angle越小，阴影越黑,越趋近于硬阴影;

可以想象随着遮挡物和被投射物体的距离越近，sdf越小，那么safe angle越小，阴影越趋近于硬阴影，完全符合软阴影的性质

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但是如何求出这个safe angle呢？

  • 我们可以求出圆的半径 = sdf(p)，可以求出p-0,那么利用反正弦函数arcsin（正弦：sin(theta) = float, arcsin(float) = theta）就可以轻松求出夹角
  • 但是arcsin非常消耗性能，因此用另一种方法，其中k越小,半影区域越大,越接近软阴影效果.K越大,半影区域越小,越接近硬阴影效果.

Global Illuminace

全局光照（直接+间接（环境光））

Microfacet model 计算直接光照

Microfacet model是pbr模型之一

每个光源都要对p点（Blinnphong求得贡献 * brdf）仅计算一次贡献（光源会向四周发生无数光线，但只有一条wi->p方向的光线会照射到p点，产生直接光照贡献）后求和

IBL(image-based lighing)基于图像的照明

间接/环境光照可以通过ibl的方法求得，ibl将周围环境都作为次级光源，因此它不考虑可视项

我们将使用渲染方程来求得环境光，因为有大量的次级光源，因此用积分采样半球方向（蒙特卡洛），并且如果要使用基于物理的模型，那么就既使用积分又基于物理，所以用渲染方程是非常合适的（它既包含积分又包含物理）

分解渲染方程

为了简化计算，通常将渲染方程分解为漫反射和镜面反射两部分

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环境光漫反射部分

为了加快运行时计算的速度，采用预计算

  • 预计算环境贴图（通常用cubemap/sh存储）

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//离散采样
for(float phi = 0.0; phi < 2.0 * PI; phi += sampleDelta)
{
    for(float theta = 0.0; theta < 0.5 * PI; theta += sampleDelta)
    {
        // spherical to cartesian 球坐标转换笛卡尔坐标
        vec3 tangentSample = vec3(sin(theta) * cos(phi),  sin(theta) * sin(phi), cos(theta));
        // tangent space to world 切线空间转世界空间
        vec3 sampleVec = tangentSample.x * right + tangentSample.y * up + tangentSample.z * N; 
        //累加辐照度
        irradiance += texture(environmentMap, sampleVec).rgb * cos(theta) * sin(theta);
        nrSamples++;
    }
}
//求平均 并*brdf
irradiance = PI * irradiance * (1.0 / float(nrSamples));

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  • 预计算辐照度图（通常用cubemap/sh存储，记录以每个可能的 法线半球朝向 离散采样wi(根据球坐标) 求和平均 的辐照度），这样就可以直接根据某个法线朝向直接采样L的结果（texture（））
    • 其中公式末尾多出的sin，因为每个采样近似代表了半球上的一小块区域，天顶角 θ 变高，半球的离散采样区域变小，我们使用 sinθ 来平衡区域贡献度
    • 漫反射部分，brdf项为常数（和视线方向无关）可以直接拆出积分，辐照度图也就直接 * brdf项，也就是现在的辐照度图比较特殊，存储的是 周围的间接光 累积的 反射率的 漫反射部分的 积分
  • 根据p点法线朝向直接采样获得漫反射部分积分结果

环境光镜面部分

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  • 由于镜面部分的brdf非常数，不可以拆出积分，因此根据微积分的不等式性质，两个函数乘积的积分 近似为两个函数积分的乘积

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求逆累积分布函数，其中u是[0,1]区间内的随机数，逆累积分布函数可以将均匀分布的随机数映射到目标分布（GGX 分布）上。它会根据 GGX 分布的概率密度，自动地在概率高的区域生成更多的采样点，在概率低的区域生成较少的采样点

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或者根据这个，e1代表xi_x,e2代表xi_y

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vec3 ImportanceSampleGGX(vec2 Xi, vec3 N, float roughness)
{   
    //将随机数xi 映射到 球坐标的方位角 ϕ 和极角 θ
    float a = roughness*roughness;
    float phi = 2.0 * PI * Xi.x;//方位角 ϕ：Xi.x 乘以 2π，可以将其映射到 [0,2π]的范围
    //极角的余弦值 cosθ_GGX:
    //这里需要 根据目标概率 GGX 分布积分，得到累积分布函数（CDF），对cdf反演，得到逆累积分布函数（Inverse CDF）
    float cosTheta = sqrt((1.0 - Xi.y) / (1.0 + (a*a - 1.0) * Xi.y));
    float sinTheta = sqrt(1.0 - cosTheta*cosTheta);//极角的正弦值 sinθ_GGX: 根据sin^2θ + cos^2θ = 1 公式

    // 从球坐标转换为笛卡尔坐标
    vec3 H;
    H.x = cos(phi) * sinTheta;
    H.y = sin(phi) * sinTheta;
    H.z = cosTheta;

    // 从切线空间转换到世界空间
    vec3 up        = abs(N.z) < 0.999 ? vec3(0.0, 0.0, 1.0) : vec3(1.0, 0.0, 0.0);
    vec3 tangent   = normalize(cross(up, N));
    vec3 bitangent = cross(N, tangent);

    vec3 sampleVec = tangent * H.x + bitangent * H.y + N * H.z;
    return normalize(sampleVec);//返回生成的采样方向
}

展开

  • 根据GGX重要性采样生成有偏采样方向
    • 镜面反射依赖于表面的粗糙度，反射光线可能比较松散，也可能比较紧密，但是一定会围绕着反射向量r的镜面波瓣区域（a越高，波瓣越大），除非表面极度粗糙，因此采样时按照反射方向选取采样向量是有意义的
    • 在这之前会利用低差异序列生成样本向量，然后根据D项（法线分布项）实现重要性采样
  • 这次使用预计算滤波环境贴图，而非预计算辐照度图，即根据粗糙度设置不同的mipmap级别
    • 外循环maxMipLevels次，内循环6次生成以a级别的mipmap cubemap

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  • 根据ImportanceSampleGGX生成的采样方向是H，已知V，根据反射定律计算wi方向
  • 内部不再使用球坐标无偏采样，使用GGX重要性采样有偏采样，最后依旧累加求均值

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  • 对于预计算BRDF部分参数很多，但我们也可以简化后预计算，结果称为BRDF积分贴图
    • 由于镜面部分依赖于视角方向，所以怎样预计算呢？可以假设视角方向v == 输出采样方向ωo，这样就不需要关心视角方向了
    • 就可以在给定粗糙度、光线 ωi(GGX) , 法线 n(已知) ， 夹角 n⋅ωi （已知）的情况下，预计算 BRDF
    • n⋅ωi作为横坐标，以粗糙度作为纵坐标

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  • 采样方向的权重
  • 合并：漫反射部分（L * F） + 镜面部分（L * F）
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